浅井康之氏による卵形曲線の方程式

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浅井康之氏による卵形曲線の方程式

浅井康之氏（数学独学塾塾長）（東京都町田市）,　山本信雄

浅井氏の提案による卵形曲線のご報告が、氏より寄せられました。
氏のご了承の上に、メールで戴いた資料をもとにして山本も計算を進め、再構成してみました。

    本サイトは Bounds of rotated egg? 、塾長(校長) 室、【曲線-12】エッグカーブを描いてみよう、 GENERATING AVIAN EGG USING RATIONAL BEZIER QUADRATIC CURVES に紹介されています。

    上記のサイトや論文に紹介・引用された本サイトの著者名が「伊藤忠夫」、「伊藤忠夫、山本信雄」、「jukuchou and Yamamoto」、「Yamamoto」となっていますが、本サイトのアドレスが古い順に「http://www16.ocn.ne.jp:80/~akiko-y/Egg_by_SuudokuJuku/index_egg_by_SuudokuJuku.html」、「http://www.geocities.jp/nyjp07/Egg_by_SuudokuJuku/index_egg_by_SuudokuJuku.html」、「http://www.geocities.jp/nyjp07/index_egg_by_SuudokuJuku.html」　を経過して現在の本サイトのアドレス「http://nyjp07.com/index_egg_by_SuudokuJuku.html」になっています。
    古いアドレスは使えませんが、無料の インターネット・アーカイブ検索（Internet Archive）で古いアドレスを検索すると、保存されていた当時のサイトが現れる可能性があります。

    浅井氏の提案による新たな卵形曲線（円を x 軸のプラス方向に徐々に引き伸ばす）の方程式は次のとおりです。なお、ここでは、変数の代わりに、定数を用います。

                     .                        (1)

    の場合、の場合、および、の場合の各場合につき、 (1)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと，それぞれ、図1、図2、および、図3のようになります。ただし、定数は、一般性を失わないとしました。

図1　の場合


図2　の場合	図3　の場合

このように、図1の場合に卵形曲線が得られます。
この中で，最も現実の卵の形に近い曲線を選んだときの卵形曲線と山本の卵形曲線（こちらを参照）とを比較すると図4のようになります。両者にやや差が生じていますが、卵形に近いといえます。ただし、比較のため、後者は座標の移動や左右の反転を行っています。

図4　浅井氏の卵形曲線（SuudokuJuku's）と山本のそれ（Yamamoto's）との比較。
ただし、比較のため、山本のは座標の移動や左右の反転を行っている。

図5　a=1 かつ c=2.9 のときの卵形曲線
（ピンク色のカーブ）と現実の卵の形との比較

    a=1 かつ c=2.9 の場合が最も現実の卵に近いようです。これを図5に示します。

    最後に、(1)式を変形すると次式の方程式となります。

                     .                        (2)

    (1)式を数値計算して図1から図3の曲線群を得るための C++ プログラムはこちらです。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
    また、図1から図3のうちの1個の曲線を得るための C++ プログラムはこちらです。このプログラムで、定数 , の数値を変えることにより曲線の形を変えることができます。
    次に、 C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、「egg_shaped_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、計算されたデータ(卵形曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの「外部データの取り込み」機能で行います。ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存されるデータ間の仕切りはカンマ（，）で指定してありますので、「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある「グラフウィザード」をクリックして、その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると卵形曲線が描かれます。

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Updated: 2009.08.01, edited by N. Yamamoto.
Revised on Feb. 06, 2015, Mar. 16, 2015, Mar. 03, 2020, May 05, 2020, Jan. 17, 2021, May 08, 2021, Sep. 23, 2021 and Mar.05, 2022.