S の字形曲線の方程式

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S の字形曲線の方程式

山本信雄

指数関数を用いて S の形を与える曲線の方程式を立てることを試みます。

図1

図2

    図1に示すように直線AB上に点 P が媒介変数 (ここに、 ) に従って移動することを想定します。点 P の (x, y) 座標をとして、その座標を表す方程式を、定数 a, b, p を用いて次のように仮定します。
                    .                      (1)
ここに、(1)式は図2に示すような曲線です。
   次に、点 P を基点とするベクトルを、定数 c, k, q を用いて次にように仮定します。
                    ,                      (2)
ただし、i は虚数単位を示します。
   すると、点 Q を表す座標は次のように表され、媒介変数 (ここに、 ) の変化に従って、点 Q は S の形を与える曲線を描くことができます。

                    ,                      (3)
および、

                    ,                      (4)
ただし、。
   媒介変数をの範囲で変化させたときに(3), (4)式が描く曲線を図に示すと以下のようになります。


図3	図4	図5


図6	図7


図8	図9	図10

    (3)，(4)式を数値計算して図3から図10の S 曲線を得るための C++ プログラムはこちらです。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
    次に、C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、「S_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、計算されたデータ(S 曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの「外部データの取り込み」機能で行います。ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存されるデータ間の仕切りはカンマ（，）で指定してありますので、「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある「グラフウィザード」をクリックして、その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると S 曲線が描かれます。

［蛇足］
上記と同様の方法で疑問符（？）の形を式で表してみました。

（その1）

    上記(3)、(4)式に相当して次式を考えます。

                    ,                      (5)
および、

                    ,                      (6)
ただし、。
    媒介変数をの範囲で変化させたときに(5), (6)式が描く曲線を図に示すと以下のようになります。


図11	図12

(5)，(6)式を数値計算して図11、図12の？形曲線を得るための C++ プログラムはこちらです。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。

（その2）
上記(3)、(4)式に相当して次式を考えます。

                    ,                      (7)
および、

                    ,                      (8)
ただし、。
    媒介変数をの範囲で変化させたときに(7), (8)式が描く曲線を図に示すと以下のようになります。


図13	図14

(7)，(8)式を数値計算して図13、図14の？形曲線を得るための C++ プログラムはこちらです。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。

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Updated: 2010.02.20, edited by N. Yamamoto.
Revised on Mar. 16, 2015, May 04, 2020, Feb. 02, 2021, May 09, 2021 and Mar. 30, 2022.